Математики розв'язали давню геометричну задачу про «обертання голки» у трьох вимірах

Архівна публікація двох дослідників проголосила довгострокове досягнення: математики Хон Ванґ (NYU) та Джошуа Зал (UBC) представили доказ, який вирішує тривалу версію кон'юнктури Какея в тривимірному просторі. Робота стверджує, що множини типу «Kakeya» у трьох вимірах, хоча можуть мати нульовий об'єм, все ж мають повну (тобто тривимірну) фрактальну розмірність — це довгоочікуваний результат для геометричної теорії міри.

У найпростішому вигляді питання Какея полягає в тому, яку «найменшу» область потрібно, щоб повернути тонкий відрізок (голку) у всіх напрямах; проблема ставилася ще на початку XX століття і стимулювала величезну низку робіт у гармонічному аналізі та геометричній теорії міри. Новий доказ опирається на оцінки об’ємів для об’єднань певних опуклих множин і на тонку аналізу структури перетинів «трубок» у просторі — методи, що поєднують ідеї з індукції по шкалах та геометричних оцінок. Автори опублікували докладний препринт, до якого вже готують уважні перевірки з боку спільноти.

Експерти вже називають результат важливим кроком: вирішення 3D-випадку відкриває шлях до подальших проривів у суміжних питаннях аналізу, теорії чисел та застосуваннях у комп’ютерних науках і криптографії, де подібні геометричні оцінки відіграють ключову роль. Водночас автори та інші дослідники підкреслюють, що тепер почнеться період ретельної перевірки доказу та його можливих узагальнень; якщо верифікація пройде успішно, робота може стати основою для нового етапу розвитку дисципліни.